【行列式如何展开】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等。在计算行列式时，常见的方法之一是“按行或按列展开”，也称为拉普拉斯展开（Laplace Expansion）。本文将对行列式的展开方式进行总结，并通过表格形式进行对比说明。
一、行列式展开的基本原理
行列式的展开是指将一个n阶行列式分解为若干个(n-1)阶行列式的组合，从而逐步简化计算过程。展开的核心在于余子式和代数余子式的使用。
- 余子式：去掉某一行一列后得到的子式的行列式。
- 代数余子式：余子式乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $，其中i和j分别为所在行和列的索引。
二、行列式展开的两种方式
| 展开方式 | 展开对象 | 公式表达 | 特点 |
| 按行展开 | 第i行 | $ \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij} $ | 适用于任意行，选择0较多的行可简化计算 |
| 按列展开 | 第j列 | $ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij} $ | 适用于任意列，选择0较多的列可简化计算 |
其中，$ a_{ij} $ 是原行列式中第i行第j列的元素，$ C_{ij} $ 是对应的代数余子式。
三、展开步骤总结
1. 选择一行或一列：优先选择含有较多0的行或列，以减少计算量。
2. 计算每个元素的代数余子式：
- 计算对应的余子式（去掉该元素所在的行和列后的子式）；
- 乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
3. 相加求和：将每个元素与其对应的代数余子式相乘后相加，得到最终结果。
四、示例说明（3×3行列式）
设行列式为：
$$
D =
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
$$
若按第一行展开：
$$
D = a \cdot
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i \\
\end{vmatrix}
- b \cdot
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i \\
\end{vmatrix}
+ c \cdot
\begin{vmatrix}
d & e \\
g & h \\
\end{vmatrix}
$$
即：
$$
D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
五、注意事项
- 展开时应确保每一步计算准确，尤其是符号的处理。
- 若行列式中有大量0元素，应优先选择对应位置的行或列进行展开。
- 对于高阶行列式（如4×4及以上），通常采用递归展开法或利用行列式的性质（如三角化）来简化计算。
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 行列式展开方式 | 按行展开、按列展开 |
| 核心概念 | 余子式、代数余子式 |
| 优势 | 简化高阶行列式的计算 |
| 建议 | 选择含0较多的行或列进行展开 |
| 应用场景 | 矩阵求逆、线性方程组求解、特征值计算等 |
通过合理选择展开方式，可以有效提高行列式计算的效率与准确性。