【向量垂直的公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。向量垂直的判定主要依赖于它们的点积（也称为内积）结果。通过点积的性质，可以快速判断两个向量是否相互垂直。
一、向量垂直的基本概念
两个向量 a 和 b 如果满足以下条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量 互相垂直 或 正交。
其中，“·”表示向量的点积运算。
二、向量垂直的公式总结
| 向量形式 | 公式表达 | 说明 |
| 二维向量 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$ | 若两个二维向量的对应分量乘积之和为零，则两向量垂直 |
| 三维向量 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$ | 若三个分量乘积之和为零，则两向量垂直 |
| n维向量 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = 0$ | 在n维空间中，若各分量乘积之和为零，则向量垂直 |
三、实际应用举例
例1：二维向量
设向量 a = (3, 4)，向量 b = (-4, 3)
计算点积：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，a 与 b 垂直。
例2：三维向量
设向量 a = (1, 2, -3)，向量 b = (6, -3, 1)
计算点积：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 6 + 2 \times (-3) + (-3) \times 1 = 6 - 6 - 3 = -3
$$
因为点积不为零，所以 a 与 b 不垂直。
四、注意事项
- 点积为零是向量垂直的充要条件。
- 向量的方向会影响点积的符号，但只要结果为零，即可判断为垂直。
- 在实际问题中，如物理、工程、计算机图形学等领域，垂直向量常用于判断方向关系或进行投影计算。
五、总结
向量垂直的判断主要依赖于点积的结果。只要两个向量的点积为零，无论其长度如何，均可判断为垂直。这一方法适用于任意维度的向量，是向量分析中的基础内容之一。掌握该公式有助于解决许多几何与物理问题。