【向量叉乘公式是什么】向量叉乘是向量运算中的一种重要方式，常用于三维空间中计算两个向量的垂直方向。它在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本文将对向量叉乘的基本概念和公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、向量叉乘的基本概念
向量叉乘（Cross Product）也称为向量积，是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。叉乘的结果方向由右手定则决定，大小则等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
设两个向量为 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘记作 a × b，其结果也是一个三维向量。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2,\quad a_3b_1 - a_1b_3,\quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
三、向量叉乘的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 零向量 | 若 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 4. 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 都垂直 | ||||||
| 5. 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角 |
四、叉乘的几何意义
- 方向：由右手定则确定，即右手四指从第一个向量转向第二个向量时，拇指指向的方向。
- 模长：表示由两个向量构成的平行四边形的面积。
- 应用：常用于计算力矩、旋转方向、法向量等。
五、示例说明
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5, \quad 3×4 - 1×6, \quad 1×5 - 2×4) = (12 - 15, \quad 12 - 6, \quad 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
六、总结
向量叉乘是一种重要的向量运算方式，具有明确的数学表达式和丰富的物理意义。通过掌握其公式和性质，可以更好地理解向量之间的关系，并在实际问题中加以应用。
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量叉乘是两个向量相乘得到一个新向量的运算 | ||||||
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 方向 | 由右手定则确定 | ||||||
| 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 应用 | 力矩、法向量、旋转方向等 |
如需进一步了解向量点乘或其他向量运算，可继续查阅相关资料。