【微分方程公式】微分方程是数学中研究函数与其导数之间关系的一类重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微分方程可以分为常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE），根据未知函数的导数阶数又可分为一阶、二阶等。以下是对常见微分方程类型的总结与公式整理。
一、常微分方程（ODE）
| 类型 | 一般形式 | 特点 | 示例 |
| 一阶线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 可用积分因子法求解 | $ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x $ |
| 分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 可将变量分离后积分 | $ \frac{dy}{dx} = x y $ |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ | 可通过变量替换化简 | $ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y} $ |
| 伯努利方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n $ | 可通过变换转化为线性方程 | $ \frac{dy}{dx} - 2y = y^2 $ |
| 二阶线性微分方程 | $ a(x)\frac{d^2y}{dx^2} + b(x)\frac{dy}{dx} + c(x)y = g(x) $ | 有齐次与非齐次之分 | $ y'' + 4y = \sin(2x) $ |
二、偏微分方程（PDE）
| 类型 | 一般形式 | 应用场景 | 示例 |
| 热传导方程 | $ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ | 描述热扩散过程 | $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ |
| 波动方程 | $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ | 描述波动现象 | $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ |
| 拉普拉斯方程 | $ \nabla^2 u = 0 $ | 描述无源场 | $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $ |
| 薛定谔方程 | $ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(x)\psi $ | 量子力学基础方程 | $ i\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $ |
三、特殊类型与解法
| 类型 | 公式 | 解法或特点 |
| 齐次方程通解 | $ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 $ | 当特征方程有实根时使用 |
| 非齐次方程特解 | $ y_p = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x) $ | 当自由项为三角函数时采用待定系数法 |
| 常系数线性方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 通过特征方程 $ ar^2 + br + c = 0 $ 求解 |
| 一阶可积组合 | $ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 $ | 若满足 $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $，则为恰当方程 |
四、总结
微分方程是描述动态系统变化规律的重要工具，不同类型的方程对应不同的解法和应用场景。掌握常见的微分方程形式及其解法，有助于在实际问题中建立数学模型并进行分析。无论是简单的常微分方程还是复杂的偏微分方程，理解其基本结构和求解方法都是关键。