【求三角形边长公式】在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而求解三角形的边长是常见的问题。根据已知条件的不同，可以使用多种公式来计算未知边长。以下是对常见情况下的求三角形边长公式的总结。
一、已知两边及其夹角（SAS）
当已知三角形的两条边和它们的夹角时，可以通过余弦定理求出第三条边的长度。
公式：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)
$$
- $a$、$b$：已知两边
- $C$：夹角
- $c$：要求的第三边
二、已知两角及一边（AAS 或 ASA）
当已知两个角和一条边时，可以通过正弦定理求出其他边的长度。
公式：
$$
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
$$
- $A$、$B$、$C$：三个角
- $a$、$b$、$c$：对应的边
三、已知三边（SSS）求角度（反用余弦定理）
当已知三条边时，可以通过余弦定理求出任意一个角。
公式：
$$
\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
$$
- $a$、$b$、$c$：已知三边
- $A$：所对的角
四、直角三角形中的边长关系
在直角三角形中，使用勾股定理即可求出未知边。
公式：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
- $a$、$b$：直角边
- $c$：斜边
五、等边三角形与等腰三角形
- 等边三角形：三边相等，所有角为60°
- 等腰三角形：两边相等，底角相等
对于等腰三角形，若已知底边和高，可以用勾股定理求出腰长。
总结表格
| 已知条件 | 使用公式 | 适用情况 |
| 两边及夹角 | 余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ | SAS 情况 |
| 两角及一边 | 正弦定理 $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$ | AAS 或 ASA 情况 |
| 三边 | 余弦定理（反向）$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ | SSS 情况 |
| 直角三角形 | 勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ | 适用于直角三角形 |
| 等腰三角形 | 勾股定理或三角函数 | 已知底边和高 |
通过以上公式和方法，可以根据不同的已知条件灵活地求出三角形的边长。掌握这些基础公式不仅有助于数学学习，也在工程、建筑、物理等领域有广泛应用。