【什么是两点分布】两点分布，又称伯努利分布（Bernoulli Distribution），是概率论中最基础的离散型概率分布之一。它描述的是一个只有两种可能结果的随机试验，通常称为“成功”和“失败”。这种分布广泛应用于统计学、概率论以及实际问题建模中。
两点分布的核心特点是：每次试验的结果只有两个可能，且这两个结果的概率之和为1。例如，抛一枚硬币，正面朝上为“成功”，反面为“失败”，这就是一个典型的两点分布。
一、两点分布的基本定义
设随机变量 $ X $ 表示一次试验的结果，其取值为 0 或 1：
- $ X = 1 $ 表示“成功”，发生的概率为 $ p $
- $ X = 0 $ 表示“失败”，发生的概率为 $ 1 - p $
其中，$ 0 < p < 1 $
因此，两点分布可以表示为：
$$
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & x = 1 \\
1 - p, & x = 0
\end{cases}
$$
二、两点分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 类型 | 离散型概率分布 |
| 随机变量 | 取值为 0 和 1 |
| 概率质量函数 | $ P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x} $，其中 $ x = 0, 1 $ |
| 数学期望 | $ E(X) = p $ |
| 方差 | $ Var(X) = p(1 - p) $ |
| 偏度 | $ \frac{1 - 2p}{\sqrt{p(1 - p)}} $ |
| 峰度 | $ \frac{1 - 6p(1 - p)}{p(1 - p)} $ |
三、应用实例
1. 抛硬币实验
正面为“成功”，反面为“失败”，若硬币公平，则 $ p = 0.5 $
2. 产品是否合格
合格为“成功”，不合格为“失败”，根据历史数据估计 $ p $
3. 用户点击行为
点击为“成功”，未点击为“失败”，用于广告效果评估
四、与二项分布的关系
两点分布是二项分布的一个特例。当进行 $ n $ 次独立的两点分布试验时，结果服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布。
五、总结
两点分布是一种简单但非常重要的概率模型，适用于所有只有两种结果的随机事件。通过了解它的数学表达、性质和应用场景，可以帮助我们更好地理解和分析现实中的随机现象。在实际问题中，两点分布常作为构建更复杂模型的基础。