【什么是贝塔分布】贝塔分布是概率论和统计学中一种常见的连续概率分布，常用于描述在0到1之间取值的随机变量。它在贝叶斯统计、概率建模以及各种实际问题中有着广泛的应用，比如在估计成功概率、进行参数估计或模拟不确定性时非常有用。
贝塔分布由两个正实数参数α和β决定，这两个参数控制着分布的形状。当α和β都为1时，贝塔分布退化为均匀分布；当α>1且β>1时，分布呈单峰状；当α<1且β<1时，分布呈U型；当α=1且β>1时，分布呈现右偏；反之亦然。
贝塔分布总结与对比表
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 贝塔分布（Beta Distribution） |
| 类型 | 连续概率分布 |
| 定义域 | [0, 1] |
| 参数 | α > 0，β > 0（形状参数） |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} $，其中 $ B(\alpha,\beta) $ 是贝塔函数 |
| 期望值 | $ E(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} $ |
| 方差 | $ Var(X) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)} $ |
| 应用场景 | 概率估计、贝叶斯推断、不确定性建模、比例分析等 |
| 特殊形式 | 当α=1，β=1时，为均匀分布；当α=β时，对称分布 |
| 优点 | 灵活性强，适用于多种数据分布情况 |
| 缺点 | 对于超出[0,1]范围的数据不适用 |
贝塔分布在实际应用中常常用来表示概率的不确定性，例如在A/B测试中，我们可以用贝塔分布来表示某个网页点击率的概率分布，并随着数据的积累不断更新这个分布。这种动态调整的能力，使得贝塔分布在机器学习和数据分析中非常受欢迎。