【向量叉乘法则】向量叉乘是向量运算中的一种重要方式，常用于三维空间中的物理和数学问题中，例如计算力矩、磁场方向等。叉乘的结果是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量所构成的平面，大小则与两向量的夹角及模长有关。
一、叉乘的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果类型 | 向量（三维空间） | ||||||
| 方向 | 垂直于两个向量所在的平面，符合右手法则 | ||||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $，其中θ为两向量夹角 | |
| 交换律 | 不满足：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 零向量情况 | 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
三、应用实例
- 物理学：计算力矩（$\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$）
- 计算机图形学：确定物体表面法线方向
- 工程力学：分析旋转系统中的力和扭矩
四、叉乘与点乘的区别
| 项目 | 叉乘 | 点乘 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 方向 | 垂直于两向量 | 无方向 |
| 计算公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ |
| 用途 | 计算面积、方向 | 计算投影、角度 |
五、总结
向量叉乘是一种重要的向量运算方法，具有明确的方向性和几何意义。在实际应用中，它能够帮助我们理解三维空间中向量之间的关系，并广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。掌握其基本法则和性质，有助于提升对向量运算的理解和运用能力。