【多项式除以多项式怎么做】在数学中，多项式除以多项式是一种常见的运算，尤其在代数学习中占据重要地位。掌握这一方法有助于解决方程、因式分解以及函数分析等问题。本文将总结多项式除以多项式的基本步骤，并通过表格形式清晰展示其过程。
一、多项式除法的基本概念
多项式除法是指将一个多项式（被除式）除以另一个非零多项式（除式），得到商和余式的过程。其基本形式为：
$$
\text{被除式} = \text{除式} \times \text{商} + \text{余式}
$$
其中，余式的次数必须小于除式的次数。
二、多项式除法的步骤
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按字母的降幂排列。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘积减法：将得到的商项乘以除式，然后从被除式中减去这个乘积。
4. 重复操作：将新的被除式继续进行上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。
三、多项式除法示例
假设我们要计算：
$$
(6x^3 + 5x^2 - 3x + 1) \div (2x + 1)
$$
步骤说明：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 首项相除：$6x^3 ÷ 2x = 3x^2$ | 商第一项为 $3x^2$ |
| 2 | 乘以除式：$3x^2 \times (2x + 1) = 6x^3 + 3x^2$ | 得到乘积 |
| 3 | 减去乘积：$(6x^3 + 5x^2) - (6x^3 + 3x^2) = 2x^2$ | 新的被除式为 $2x^2 - 3x + 1$ |
| 4 | 继续首项相除：$2x^2 ÷ 2x = x$ | 商第二项为 $x$ |
| 5 | 乘以除式：$x \times (2x + 1) = 2x^2 + x$ | 得到乘积 |
| 6 | 减去乘积：$(2x^2 - 3x) - (2x^2 + x) = -4x$ | 新的被除式为 $-4x + 1$ |
| 7 | 继续首项相除：$-4x ÷ 2x = -2$ | 商第三项为 $-2$ |
| 8 | 乘以除式：$-2 \times (2x + 1) = -4x - 2$ | 得到乘积 |
| 9 | 减去乘积：$(-4x + 1) - (-4x - 2) = 3$ | 余式为 $3$ |
四、最终结果
$$
(6x^3 + 5x^2 - 3x + 1) \div (2x + 1) = 3x^2 + x - 2 \quad \text{余} \ 3
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 多项式除以多项式是求商与余式的过程 |
| 步骤 | 排列 → 首项相除 → 乘积减法 → 重复操作 |
| 注意事项 | 余式次数应低于除式次数 |
| 应用 | 解方程、因式分解、函数分析等 |
通过以上步骤和示例，可以系统地理解并掌握多项式除以多项式的方法。建议多做练习题来巩固这一技能，提高解题效率和准确性。