【五个抽样定理】在信号处理与信息论中，抽样定理是连接连续时间信号与离散时间信号的重要桥梁。它不仅决定了如何从连续信号中提取离散样本以实现无损重建，还为数字信号处理奠定了理论基础。以下是对“五个抽样定理”的总结，涵盖其核心思想、应用场景及关键公式。
一、五个抽样定理概述
1. 奈奎斯特-香农抽样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）
2. 低通抽样定理（Low-Pass Sampling Theorem）
3. 带通抽样定理（Bandpass Sampling Theorem）
4. 非均匀抽样定理（Non-uniform Sampling Theorem）
5. 压缩感知定理（Compressed Sensing Theorem）
这些定理分别适用于不同的信号类型和应用环境，共同构成了现代信号采样的理论体系。
二、五个抽样定理对比表
| 序号 | 抽样定理名称 | 核心内容 | 关键条件/公式 | 应用场景 |
| 1 | 奈奎斯特-香农抽样定理 | 若信号的最高频率为 $ f_{\text{max}} $，则抽样频率 $ f_s \geq 2f_{\text{max}} $ 即可无失真恢复信号 | $ f_s \geq 2f_{\text{max}} $ | 音频、图像等常规信号采集 |
| 2 | 低通抽样定理 | 对于低通信号，需满足奈奎斯特条件，且使用理想低通滤波器进行重建 | 同上 | 数字通信、音频编码 |
| 3 | 带通抽样定理 | 对于带通信号，可采用低于两倍最高频率的抽样率，但需满足特定条件 | $ f_s > 2B $，其中 $ B $ 为带宽 | 无线通信、雷达系统 |
| 4 | 非均匀抽样定理 | 在非均匀抽样条件下，若满足一定正交性条件，仍可实现信号重建 | 需满足正交性或稀疏性条件 | 传感器网络、医学成像 |
| 5 | 压缩感知定理 | 在信号稀疏的前提下，可通过远低于奈奎斯特速率的测量数重建信号 | $ M \gg \log N $，其中 $ M $ 为测量数 | 医学影像、遥感、大数据采集 |
三、总结
五个抽样定理从不同角度描述了信号采样的基本原理与方法，它们共同服务于一个目标：在保证信号完整性的同时，尽可能减少采样率，从而提高系统的效率和性能。
- 奈奎斯特-香农定理 是最基础的理论，适用于大多数通用信号；
- 带通抽样定理 和 非均匀抽样定理 为特定信号提供了更灵活的采样方式；
- 压缩感知定理 则突破了传统采样极限，在稀疏信号下实现了高效采样。
这些定理不仅是理论研究的基础，也在实际工程中广泛应用，如通信系统、医疗成像、雷达探测等领域。
通过理解这五个抽样定理，我们可以更好地设计和优化信号采集与处理系统，提升数据获取的效率与精度。