【概率论公式总结大全】概率论是研究随机现象及其规律的数学分支，广泛应用于统计学、物理学、工程学、计算机科学等领域。掌握概率论中的基本概念和常用公式，有助于理解随机事件的发生规律以及进行数据分析和预测。
以下是对概率论中常见公式的系统性总结，便于学习和查阅。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 随机试验 | 在相同条件下可以重复进行，每次结果不一定相同，但所有可能的结果已知的试验。 |
| 样本空间 | 随机试验的所有可能结果组成的集合，记为 $ S $。 |
| 事件 | 样本空间的一个子集，表示某些结果的集合。 |
| 随机变量 | 表示随机试验结果的数值函数，分为离散型和连续型。 |
二、概率的基本性质
| 公式 | 说明 |
| $ P(S) = 1 $ | 样本空间的概率为1。 |
| $ 0 \leq P(A) \leq 1 $ | 任意事件A的概率在0到1之间。 |
| $ P(\emptyset) = 0 $ | 不可能事件的概率为0。 |
| $ P(A^c) = 1 - P(A) $ | 事件A的补集的概率等于1减去A的概率。 |
三、加法公式
| 公式 | 说明 |
| $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两个事件并集的概率等于各自概率之和减去交集的概率。 |
| $ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) $ | 三个事件并集的概率计算公式。 |
四、乘法公式与条件概率
| 公式 | 说明 | |||
| $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 两事件同时发生的概率等于A的概率乘以B在A发生下的条件概率。 | ||
| $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $（$ P(A) > 0 $） | 条件概率定义公式。 | ||
| $ P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)P(A_2 | A_1)P(A_3 | A_1 \cap A_2)\cdots P(A_n | A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) $ | 多个事件的联合概率公式。 |
五、全概率公式与贝叶斯公式
| 公式 | 说明 | |||
| $ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 全概率公式，适用于互斥且穷尽的事件组 $ A_1, A_2, ..., A_n $。 | ||
| $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 贝叶斯公式，用于计算在已知B发生的情况下，事件 $ A_i $ 发生的概率。 |
六、期望与方差
| 公式 | 说明 |
| $ E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x) $（离散型） $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $（连续型） | 随机变量X的期望值。 |
| $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 方差计算公式。 |
| $ Var(aX + b) = a^2 Var(X) $ | 线性变换后的方差公式。 |
七、常见分布及其公式
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
八、协方差与相关系数
| 公式 | 说明 |
| $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 协方差公式。 |
| $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} $ | 相关系数公式，取值范围为 [-1, 1]。 |
九、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容 |
| 大数定律 | 当样本容量增大时，样本均值依概率收敛于总体期望。 |
| 中心极限定理 | 当样本容量足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布，无论总体分布如何。 |
十、总结
概率论是处理不确定性的重要工具，涵盖了从基础概率计算到复杂随机变量分析的多个方面。掌握上述公式和概念，不仅有助于深入理解随机现象的本质，也为实际问题的建模与求解提供了坚实的理论基础。
通过不断练习和应用这些公式，可以提升对概率论的理解和运用能力，为后续的统计分析、机器学习等高级内容打下坚实的基础。