【复合函数求导公式是什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。当我们遇到由两个或多个函数组合而成的函数时，就需要使用“链式法则”来进行求导。本文将总结复合函数求导的基本公式，并通过表格形式直观展示其应用方式。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。对这样的函数进行求导时，不能直接对整体求导，而是需要利用链式法则。
二、复合函数求导的公式
链式法则（Chain Rule） 是求解复合函数导数的核心方法。其基本形式如下：
如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
三、常见复合函数求导示例
| 函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 导数公式 | 举例 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ f(u) $ | $ g(x) $ | $ f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | $ y = \sin(2x) $，导数为 $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ u^n $ | $ f(x) $ | $ n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | $ y = (3x + 1)^2 $，导数为 $ 2(3x+1)\cdot3 = 6(3x+1) $ |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ e^u $ | $ g(x) $ | $ e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = e^{x^2} $，导数为 $ 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \ln(u) $ | $ g(x) $ | $ \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = \ln(5x) $，导数为 $ \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x} $ |
四、注意事项
1. 识别内外层函数：在应用链式法则前，首先要明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 逐步求导：对于多层复合函数（如 $ y = f(g(h(x))) $），应从最外层开始逐层求导。
3. 避免混淆导数符号：注意区分 $ \frac{dy}{du} $ 和 $ \frac{du}{dx} $ 的含义，它们分别表示不同变量之间的变化率。
五、总结
复合函数的求导本质上是对“嵌套结构”的层层分解。掌握链式法则不仅有助于理解函数的变化趋势，还能在实际问题中解决复杂函数的导数计算。通过上述表格和实例，可以更清晰地掌握复合函数求导的方法与技巧。
如需进一步学习多层复合函数的求导方法，可参考微积分教材或相关教学资源。