因式分解公式十字相乘（因式分解公式）

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1、1．运用公式法 　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用。

2、即为因式分解中常用的公式，例如： 　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； 　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； 　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 　　下面再补充几个常用的公式： 　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数； 　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数； 　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)。

3、其中n为奇数． 　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 　　例1 分解因式： 　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； 　　(2)x3-8y3-z3-6xyz； 　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； 　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7． 　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) 　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] 　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2 　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． 　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) 　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 　　　　　=(a-b+c)2． 　　本小题可以稍加变形。

4、直接使用公式(5)，解法如下： 　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) 　　　　=(a-b+c)2 　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) 　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) 　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5) 　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 　　　　　 =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 　　分析 我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 　　的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 　　这个式也是一个常用的公式。

5、本题就借助于它来推导． 　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc 　　　　　 =〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c) 　　　　　 =(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) 　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 　　a3+b3+c3-3abc 　　 　　　 　　显然。

6、当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0。

7、即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时。

8、等号成立． 　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0。

9、则有 　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． 　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 　　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0。

10、由此想到应用公式an-bn来分解． 　　解 因为 　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 　　所以 　　 　　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)。

11、再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．。

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